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2019年全国硕士研究生入学考试数学（一）真题及答案

时间：2024-04-30 栏目：公共课资料

【真题】

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当

时，若与

是同阶无穷小，则

A.1. B.2.
C.3. D.4.
2.设函数

则

是

的
A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设

是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A.

B.

.
C.

. D.

.
4.设函数

，如果对上半平面（

）内的任意有向光滑封闭曲线

都有

，那么函数

可取为
A.

. B.

.
C.

. D.

.
5.设

是3阶实对称矩阵，

是3阶单位矩阵.若

，且

，则二次型

的规范形为
A.

. B.

.
C.

. D.

.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为

，则
A.

B.

C.

D.

7.设

为随机事件，则

的充分必要条件是
A.

B.

C.

D.

8.设随机变量

与

相互独立，且都服从正态分布

，则

A.与

无关，而与

有关.
B.与

有关，而与

无关.
C.与

都有关.
D.与

都无关.

【参考答案】

1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
9. 设函数

可导，

则

= .
10. 微分方程

满足条件

的特解

.
11. 幂级数

在

内的和函数

.
12. 设

为曲面

的上侧，则

= .
13. 设

为3阶矩阵.若

线性无关，且

，则线性方程组

的通解为 .
14. 设随机变量

的概率密度为

为

的分布函数，

为

的数学期望，则

.

【参考答案】

9.

10.

11.

12.

13.

为任意常数.
14.

三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）
设函数

是微分方程

满足条件

的特解.
（1）求

；
（2）求曲线

的凹凸区间及拐点.

16.（本题满分10分）
设

为实数，函数

在点（3，4）处的方向导数中，沿方向

的方向导数最大，最大值为10.
（1）求

；
（2）求曲面

（

）的面积.

17.求曲线

与x轴之间图形的面积.

18.设

，n=（0，1，2…）
（1）证明数列

单调减少，且

（n=2，3…）
（2）求

.
19.设

是锥面

与平面

围成的锥体，求

的形心坐标.
20.设向量组

，为

的一个基，

在这个基下的坐标为

.
（1）求

.
（2）证明

，

为

的一个基，并求

到

的过度矩阵.

21.已知矩阵

与

相似
（1）求

.
（2）求可可逆矩阵

，使得

22.设随机变量

与

相互独立，

服从参数为1的指数分布，

的概率分布为

令

（1）求

的概率密度.
（2）

为何值时，

与

不相关.
（3）

与

是否相互独立?

23.（本题满分11分）
设总体

的概率密度为

其中

是已知参数，

是未知参数，

是常数，

来自总体

的简单随机样本.
（1）求

；
（2）求

的最大似然估计量

【参考答案】

17.

18.

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