2020年硕士研究生招生考试初试考试大纲

科目代码：814

科目名称：数学分析

适用专业：数学类各专业

考试时间：3小时

考试方式：笔试

总　　分：150分

考试范围：

一、函数、极限与连续

1.掌握收敛数列的性质及数列极限的存在条件(单调有界数列必有极限与夹逼定理)。

2.掌握函数极限的性质与函数极限的存在条件;熟练掌握两个重要极限，会用无穷大与无穷小处理极限问题。

3.理解无穷小与无穷大的概念，熟练掌握无穷小比较的定义与求解。

4.理解连续函数的概念，掌握闭区间上连续函数的性质;了解一致连续的概念。

二、一元函数微分学

1.理解导数的概念，熟练掌握各种求导的运算;理解微分的概念，理解高阶导数的概念。

2.掌握三个微分中值定理;熟练掌握罗必达法则;掌握带有两种余项的泰勒公式，熟练掌握常用的几个函数的展开式、运用导数来判断函数的单调、凹凸等性质、函数极值的判别和函数最大(小)值的求法。

三、一元函数积分学

1.理解不定积分的概念，熟练掌握基本初等函数的不定积分、换元积分法与分部积分法;了解有理函数、简单的无理函数与三角有理函数的不定积分。

2.理解定积分的概念;理解可积准则;了解常用的可积函数类与定积分的性质;理解变限定积分的概念与原函数存在定理。熟练掌握计算定积分的牛顿—莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。

3.掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积与平面曲线的弧长。

四、多元函数微分学

1.理解多元函数的概念;掌握偏导数与全微分的概念。

2. 掌握多元复合函数的偏导数与全微分计算。

3.了解隐含数的存在性条件与结论;熟练掌握隐函数的微分法。

4. 掌握偏导数的几何应用与二元极值的求法。

五、多元函数积分学

1.理解重积分的概念，掌握二重积分与三重积分的计算。

2.理解曲线、曲面积分的定义与计算，掌握格林公式、高斯公式、奥高公式。

3.了解多元积分学的简单应用。

六、无穷级数

1.掌握判别正项级数敛散性的各种方法—比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法;理解收敛级数、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系;掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

2.理解幂级数作为特殊的函数项级数和一般函数项级数相同的性质，会求幂级数的收敛半径和收敛范围;掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式，五种基本初等函数的幂级数展开。

3.了解付氏级数的两种展开式。

七、反常积分与参变量积分

1.了解反常积分，无穷积分，瑕积分的概念、性质及判别法。

2.掌握反常积分与含参变量积分的计算。

样 题：

一、已知 在 处连续，求 范围。(10分)

二、讨论函数 在 处的可导性。(10分)

三、设 ，求 。(10分)

四、已知 在xoy平面内是某一函数 的全微分，求 。(10分)

五、求曲线 在点 处的切线与法平面方程。(10分)

六、计算 ，其中 是圆周 取正向。(10分)

七、求幂级数 的和函数，其中 。(10分)

八、计算 ，其中 是抛物面 的外侧。(10分)

九、 在 上一阶可微，且 ， 在 上单调递减，

证明: 亦在 上单调递减。(10分)

十、计算 。(10分)

十一、计算 。(10分)

十二、证明函数项级数 在区间R上一致收敛。(10分)

十三、证明 ( )一致收敛。(10分)

十四、判断级数 的敛散性。 (10分)

十五、验证函数 在区间 上一致连续。(10分)

参考书目

刘玉琏等.数学分析讲义.高等教育出版社，2019.第六版

常庚哲,史济怀.数学分析教程.中国科学技术大学出版社，2016.第五版

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