“复变函数”考试大纲

一、考试的学科范围

复变函数课程的考试范围包括：复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的幂级数表示，解析函数的洛朗展式与孤立奇点，留数定理这六部分内容。

二、评价目标

主要考查考生对复变函数课程的基础理论、基本知识掌握和运用的情况，要求考生应掌握以下有关知识：

1.复数与复变函数：掌握复数的向量表示与极坐标表示。能熟练地运用代数、三角、指数表示法进行复数的运算。了解复变函数的极限与连续性的定义和求法。

2.解析函数：掌握解析函数的定义。会利用柯西-黎曼方程判断函数的可导性和解析性。理解几个基本的初等函数的定义。

3.复变函数的积分：理解复变函数积分的定义。会利用积分与道路的无关性求积分。掌握柯西积分定理，会用柯西积分定理求积分。掌握柯西积分公式及其推论，会用柯西积分公式求积分。

4.解析函数的幂级数表示：会判断幂级数的敛散性，会求幂级数的收敛半径，掌握幂级数和函数的性质;掌握一些初等函数的泰勒展开式;理解解析函数零点的孤立性，唯一性定理，最大模原理。

5.解析函数的洛朗展式与孤立奇点：理解洛朗级数的概念，会利用间接法将函数进行洛朗展开。掌握零点与孤立奇点的定义，会判断孤立奇点的类型。

6.留数定理：理解留数定理，会利用留数定理求复积分。会利用留数定理求实积分。

三、试题主要类型

1. 答题时间：60分钟

2. 复变函数试题类型：计算题

四、考查要点

(一)复数的表示法和基本运算

1.代数、指数、三角表示法;

2.代数运算，乘方、开方运算。

(二)解析函数的判断

1.解析函数的定义;

2.柯西-黎曼方程;

3.初等函数的计算。

(三)积分的计算

1.利用积分与道路的无关性求积分,掌握柯西积分公式及其推论;

2.用柯西积分定理求积分;

3.会用柯西积分公式求积分;

4.利用留数定理求复积分、实积分。

(四)展为级数|

1.解析函数的幂级数展式;

2.解析函数的洛朗展开。

五、主要参考书目

1. 钟玉泉编，复变函数论(第四版)，北京：高等教育出版社，2013年.

2. 西安交大的高数教研室编，复变函数，北京：高等教育出版社，2011年.

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