(602)数学

一、高等数学(60%)

(一)函数、极限、连续

1.函数的概念及表示法;

2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数;

4.基本初等函数的性质及其图形;

5.初等函数;

6.函数关系的建立;

7.数列极限与函数极限的定义及其性质;

8.函数的左极限与右极限;

9.无穷小量和无穷大量的概念及其关系;

10.无穷小量的性质及无穷小量的比较;

11.极限的四则运算;

12.极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则;

13.两个重要极限： ， ;

14.函数连续的概念;

15.函数间断点的类型;

16.初等函数的连续性;

17.闭区间上连续函数的性质。

(二)一元函数微分学

1.导数和微分的概念;

2.导数的几何意义和物理意义;

3.函数的可导性与连续性之间的关系;

4.平面曲线的切线和法线;

5.导数和微分的四则运算;

6.基本初等函数的导数;

7.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法;

8.高阶导数一阶微分形式的不变性;

9.微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则;

10.函数单调性的判别;

11.函数的极值;

12.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;

13.函数图形的描绘;

14.函数的最大值与最小值;

15.弧微分;

16.曲率的概念;

17.曲率圆与曲率半径。

(三)一元函数积分学

1.原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质;

2.基本积分公式;

3.定积分的概念和基本性质;

4.定积分中值定理;

5.积分上限的函数及其导数;

6.牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式;

7.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法;

8.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分;

9.反常(广义)积分;

10.定积分的应用。

(四)多元函数微积分学

1.多元函数的概念;

2.二元函数的几何意义;

3.二元函数的极限与连续的概念;

4.有界闭区域上多元连续函数的性质;

5.多元函数的偏导数和全微分;

6.多元复合函数、隐函数的求导法;

7.二阶偏导数;

8.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值;

9.方向导数和梯度;

10.空间曲线的切线和法平面;

11.曲面的切平面和法线;

12.二元函数的二阶泰勒公式;

13.多元函数的极值和条件极值;

14.多元函数的最大值、最小值及其简单应用;

15.二重积分的概念、基本性质和计算。

(五)无穷级数

1.常数项级数的收敛与发散的概念;

2.收敛级数的和的概念;

3.级数的基本性质与收敛的必要条件;

4.几何级数与级数及其收敛性;

5.正项级数收敛性的判别法;

6.交错级数与莱布尼茨定理;

7.任意项级数的绝对收敛与条件收敛;

8.函数项级数的收敛域与和函数的概念;

9.幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;

10.幂级数的和函数;

11.幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法;

12.初等函数的幂级数展开式;

13.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;

14.狄利克雷(Dirichlet)定理;

15.函数在区间上的傅里叶级数;

16.函数在区间上的正弦级数和余弦级数。

二、线性代数(20%)

(一)行列式

1.行列式的概念和基本性质;

2.行列式按行(列)展开定理，行列式的计算。

(二)矩阵

1.矩阵的概念;

2.矩阵的运算;

3.逆矩阵;

4. 矩阵的初等变换;

5. 矩阵的秩。

(三)向量

1.向量的概念;

2.向量的线性组合与线性表示;

3.向量组的线性相关与线性无关;

4.向量组的极大线性无关组;

5.等价向量组、向量组的秩;

6.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;

7.向量空间及其相关概念;

8.线性无关向量组的正交规范化方法;

9.规范正交基;

10.正交矩阵及其性质。

(四)线性方程组

1.线性方程组的克拉默(Cramer)法则;

2.线性方程组解的判别法则;

3.齐次和非齐次线性方程组的求解。

(五) 矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;

2.相似矩阵，特征值和特征向量的计算;

3. n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。

(六)二次型

1.二次型及其矩阵表示;

2.合同变换与合同矩阵;

3.二次型的秩;

4.惯性定理;

5.二次型的标准形和规范形;

6.用正交变换和配方法化二次型为标准形;

7.二次型及其矩阵的正定性。

三、概率论与数理统计(20%)

(一)随机事件和概率

1.随机事件与样本空间;

2.事件的关系与运算;

3.完备事件组;

4.概率的概念;

5.概率的基本性质;

6.古典型概率;

7.几何型概率;

8.条件概率;

9.概率的基本公式;

10.事件的独立性;

11.独立重复试验。

(二)随机变量及其分布

1.随机变量;

2.随机变量分布函数的概念及其性质;

3.离散型随机变量的概率分布;

4.连续型随机变量的概率密度;

5.常见随机变量的分布;

6.随机变量函数的分布。

(三)多维随机变量及其分布

1.多维随机变量及其分布函数;

2.二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布;

3.二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度;

4.随机变量的独立性和不相关性;

5.常用二维随机变量的分布;

6.两个及两个以上随机变量简单函数的分布。

(四)随机变量的数字特征

1.随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质;

2.随机变量函数的数学期望、矩、协方差、相关系数及其性质。

(五)大数定律和中心极限定理

1.切比雪夫(Chebyshev)不等式;

2.切比雪夫大数定律;

3.伯努利(Bernoulli)大数定律;

4.辛钦(Khinchine)大数定律;

5.棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理;

6.列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理。

(六)数理统计的基本概念

1.总体、个体与简单随机样本;

2.统计量、样本均值、样本方差和样本矩;

3. 分布、 分布、 分布、分位数、正态总体的常用抽样分布。

(七)参数估计

1.点估计的概念;

2.估计量与估计值;

3.矩估计法;

4.最大似然估计法。

(八)假设检验

1.显著性检验;

2.假设检验的两类错误;

3.单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

2.3 答卷内容与结构

高等数学 　 约85%

常微分方程初步　 约15%

2.4 试卷题型结构

单项选择题选题 8小题，每小题4分，共32分

填空题 6小题，每小题4分，共24分

解答题(包括证明题) 9小题，共94分

3. 第一部分 《高等数学》考试内容与要求

3.1 函数、极限、连续

3.1.1 考试内容

函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)、两个重要极限：

函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

3.1.2考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。

6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

3.2 一元函数微分学

3.2.1 考试内容

导数和微分的概念、导数的几何意义和经济意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线与法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值。

3.2.2考试要求

1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

5.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用。

6.会用洛必达法则求极限。

7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数.当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线。

9.会描述简单函数的图形。

3.3 一元函数积分学

3.3.1 考试内容

原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton- Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、反常(广义)积分、定积分的应用。

3.3.2考试要求

1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。

2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。

3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。

4.了解反常积分的概念，会计算反常积分。

3.4 多元函数微积分学

3.4.1 考试内容

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上二元连续函数的性质、多元函数偏导数的概念与计算、多元复合函数的求导法与隐函数求导法、二阶偏导数、全微分、多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值、二重积分的概念及其基本性质和计算、三重积分的概念及其基本性质和计算。

3.4.2考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标);了解三重积分的概念及其基本性质和计算，掌握三重积分的计算方法(直角坐标)。

3.5 无穷级数

3.5.1 考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理、幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。

3.5.2考试要求

1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。

2.了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。

3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。

4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。

5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。

6.了解 ， ， ， 及 的麦克劳林(Maclaurin)展开式。

4. 第二部分 《常微分方程初步》考试内容与要求

4.1考试内容

常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程、微分方程的简单应用。

4.2考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

3.会解二阶常系数齐次线性微分方程。

4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。

5.会用微分方程求解简单的应用问题。

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