课程名称：复变函数

一、考试的总体要求

本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。

二、考试的内容及比例

1、复数与复变函数(5%～10%)：

(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。

(2) 掌握复变函数、极限、连续性。

(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。

2、解析函数(10%～20%)：

(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。

(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。

(3) 掌握初等解析函数(正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数)。

(4) 了解初等多值函数(根式函数、对数函数)、 初等多值函数(反三角函数、一般指数函数、一般幂函数)。

3、复变函数的积分(15%～25%)：

(1) 掌握复积分的概念及基本性质。

(2) 掌握柯西积分定理(单连通与复连通域)、定积分与原函数。

(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。

(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。

4、解析函数的幂级数表示法(10～15%)：

(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。

(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。

(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点(10%～15%)：

(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。

(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。

(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。

6、留数理论及基应用(10%～15%)：

(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。

(2) 会利用留数定理计算一些实积分(前三种类型)。

(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。

7、共形映射(5%～10%)：

(1) 掌握解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质。。

(2) 掌握分式线性变换的映射特性、某些初等函数所构成的共形映射。

三、参考书目

《复变函数论》(第三版)钟玉泉编 高等教育出版社 2004.6。

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